Заблуда на комарджията
Убеждението, че даден резултат е „закъснял“, защото отдавна не се е появявал.
След десет червени вероятността за черно все още е 18/37. Колелото не води отчет и не дължи нищо.
Заблудата
Ако червенозалогЧервеноЗалог 1:1 на 18-те червени числа. На френски: rouge.Прочетете изцяло → се е паднало десет пъти, много играчи имат чувството, че чернотозалогЧерноЗалог 1:1 на 18-те черни числа. На френски: noir.Прочетете изцяло → е „закъсняло“, и залагат на него. Други смятат, че червеното е „горещо“, и залагат на него. И едните, и другите правят извод от последователност, която вече е приключила, за завъртане, което още не се е случило. ТопчетооборудванеТопчеМалкото топче, което се пуска по улея срещу посоката на ротора. Съвременните топчета са от айвърин или тефлон, 18–21 мм.Прочетете изцяло → не знае какви са били последните десет завъртания; гнездатаоборудванеГнездоЕдно от 37-те номерирани отделения на ротора. Също: slot, cup.Прочетете изцяло → са със същия размер като преди час; вероятносттаматематикаВероятностМярка за възможността на даден изход, от 0 до 1 или от 0% до 100%. Едно число: 1/37 = 2,70%.Прочетете изцяло → за черно е 18/37, както винаги.
Защо изглежда вярно
В дългосрочен план делът на червеното и на черното наистина се доближава до 18/37 за всяко от тях. Законът за големите числаматематикаЗакон за големите числаСредната стойност на независими резултати клони към математическото очакване с нарастването на броя на опитите.Прочетете изцяло → го гарантира. Но сходимостта става чрез разреждане, а не чрез поправка: след още 1000 завъртания десетте допълнителни червени са грешка от закръгляне в дела не защото черното е наваксало, а защото извадката е нараснала. Няма механизъм, който да прави черното по-вероятно, и законът за големите числа не се нуждае от такъв.
Монте Карло, 18 август 1913 г.
Черното се падна 26 пъти поред на маса в Casino de Monte-Carlo. Някъде от петнадесетото черно нататък играчите се струпаха на червено, удвоявайки и преудвоявайки залозите си, като всяко завъртане им изглеждаше „по-сигурно“ от предишното. Казиното спечели милиони франкове. Още от първото черно серията имаше вероятност 1 на 137 милиона, а вероятността тя рано или късно да се случи някъде в казината по света беше практически единица. Затова заблудата на комарджията се нарича още заблудата от Монте Карло.
Нищо забележително. Случва се веднъж на 44 пъти.
Играчите започват да забелязват. Червеното е „закъсняло“.
Масата е претъпкана. Залозите на червено се удвояват след всяка загуба.
Изгубени са цели състояния. Всяко ново черно кара червеното да изглежда още по-сигурно.
Серията свършва. Казиното е спечелило милиони франкове от хора, залагали срещу серия, която не би могла да „знае“, че е серия.
Горещата ръка
Да залагате на цвят, защото той е в серия, е същата грешка, обърната наопаки: очаква се серията да продължи, а не да свърши. Психолозите наричат това гореща ръкамитГореща ръкаУбеждението, че серия от печалби или от един и същ резултат прави следващия по-вероятен. На колелото това е заблудата на комарджията, обърната наопаки.Прочетете изцяло → по едно изследване от 1985 г. на Гилович, Валоне и Тверски (Gilovich, Vallone, Tversky), които търсиха серии в стрелбата в баскетбола и не откриха нищо отвъд случайността. През 2018 г. Милър и Санхурхо (Miller, Sanjurjo) показаха, че самият тест е бил наклонен: в кратък запис делът на попаденията непосредствено след попадение средно излиза под общия процент на стрелеца, така че играч без никаква гореща ръка изглежда леко студен. След корекцията същите данни показват умерена гореща ръка. Човек може да загрее; колелото няма форма, в която да бъде. Някои играчи вярват и в двете едновременно: че серията продължава, докато не стане „твърде дълга“, и тогава свършва. На изправно колело всеки вариант има същото математическо очакванематематикаМатематическо очакванеСредният резултат на залог в дългосрочен план. −1/37 от залога за всеки стандартен залог в европейската рулетка.Прочетете изцяло → като избора на цвят чрез хвърляне на монета: −2,70% от залога.
На истинска маса
Кросън и Сундали (Croson, Sundali, 2005) прегледаха 18 часа видеозапис от охранителните камери на една маса с двойна нулаколелоНулаЕдинственото зелено гнездо, което не се покрива от никой залог 1:1, на дузина или на колона; източникът на предимството на казиното. Също: единична нула, 0.Прочетете изцяло → в голямо казино в Рино: 139 играчи, направили 24 131 залога. При залозите 1:1залогЗалог 1:1Червено/черно, нечетно/четно, високи/ниски. 18 числа, плаща 1:1.Прочетете изцяло → играчите бяха разделени почти поравно между следване на кратките серии и залагане срещу тях. След пет еднакви поред те се накланяха срещу серията, а след шест или повече 85% от залозите им бяха на другата страна. Същите играчи проявяваха горещата ръка по отношение на самите себе си: след печалба на числата те покриваха средно 13,6 числа при следващото завъртане срещу 9,2 след загуба. Колелото им не показваше признаци на отклонение, така че нищо от това не променяше очакванията на когото и да е от тях.
Извън казиното
Същото привличане се проявява и там, където се вземат реални решения. Клотфелтър и Кук (Clotfelter, Cook, 1993) проследиха ежедневната числова лотария на Мериленд: парите, залагани на дадено число, рязко намаляваха веднага щом то бъде изтеглено, и им трябваха месеци, за да се възстановят, въпреки че тегленето няма памет. Чен, Московиц и Шю (Chen, Moskowitz, Shue, 2016) го откриха и сред професионалисти. Съдиите по дела за убежище в Съединените щати бяха с до 3,3 процентни пункта по-склонни да откажат, ако бяха уважили предходното дело. Бейзболните съдии бяха с 1,5 пункта по-малко склонни да отсъдят страйк, след като току-що са отсъдили такъв, а при спорните хвърляния – с повече от два пъти толкова. В полеви експеримент със служители по кредитите, получаващи фиксирано възнаграждение, до 9% от решенията бяха обърнати по този начин. Делата идваха в случаен ред, така че последното решение не казваше нищо за следващото – точно както последното завъртане не казва нищо за следващото.
Обратната заблуда на комарджията
Философът Иън Хакинг (Ian Hacking, 1987) даде име на трета версия. Някой влиза в стая, вижда как два зара падат на две шестици, и заключава, че сигурно са били хвърляни вече много пъти. Всяко хвърляне е еднакво вероятно да даде две шестици, било то първото за вечерта или хилядното, така че гледката не казва нищо за това колко дълго продължава играта. В рулетката това е играчът, който пристига пред дисплей с осем червени и решава, че на масата сигурно се върти от часове, за да се получат те. Обикновената заблуда пренася миналото в следващото завъртане; тази пренася рядка гледка в минало, което никой не е видял.
Психолог, който вярваше в нея
Заблудата е имала и учени защитници. Германският психолог Карл Марбе (Karl Marbe) прегледа четири регистъра с по 49 152 раждания всеки, установи, че най-дългата серия от момчета или от момичета поред е 17, и заключи, че дългите серии са по-редки, отколкото позволява случайността, така че серията прави другия изход по-вероятен. Само случайността твърди друго: в 196 608 раждания серия от 17 или повече се появява в около четири от пет случая. Марбе беше открил точно това, как изглежда една случайна последователност. Епстийн (Epstein, 2013) преразказва случая; страницата „Вероятност за серии“ дава версията за рулетката.
Кога заблудата не важи
Ако колелото беше физически дефектно, миналите завъртания щяха да носят информация, защото щяха да са доказателство за гнездата, а не за късмета. Това е темата на Лабораторията и там са нужни хиляди завъртания от едно установено колело, за да се каже каквото и да било. За серия от десет червени на непознато колело обяснението с отклонение е много по-малко вероятно от обяснението със случайност.
Въпроси
Не. Тя важи за всяко независимо повтарящо се събитие: зарове, монети, лотарийни числа.
Дяловете ще се доближат. Резултатът ви пак ще бъде около −2,70% от заложеното.
Няма закон на средните стойности. Има закон за големите числа и той действа чрез разреждане.
Забавна математика
Опитайте първо сами. Всяко решение е скрито; отворете го, когато сте готови.
След 10 хвърляния монета показва 7 ези и 3 тура. След 1000 хвърляния показва 517 ези и 483 тура. Наваксаха ли турата?
Показване на решението
Отговор Не. Разликата нарасна от 4 на 34. Само съотношението се доближи до равенство.
Съотношението ези към тура падна от 7/3, около 2,33, до 517/483, около 1,07. Това е законът за големите числаматематикаЗакон за големите числаСредната стойност на независими резултати клони към математическото очакване с нарастването на броя на опитите.Прочетете изцяло → в действие.
Разликата между тях нарасна от 4 на 34. При честна монета разлика около 30 след 1000 хвърляния е обичайна: типичната разлика расте приблизително с корен квадратен от броя на хвърлянията, докато съотношението се установява около 1.
Нищо не дърпаше турата обратно. Ранният излишък от ези беше разреден от следващите 990 хвърляния, а не поправен.
Хвърлете монета четири пъти и гледайте само хвърлянията веднага след ези. Какъв дял от тях са ези? Изчислете го за всяка от 16-те възможни поредици и вземете средното на дяловете. 50% ли е?
Показване на решението
Отговор Не. То е 17/42, около 40,5%. Погледната така, честната монета сякаш изстива след ези.
Изброете 16-те поредици (Е – ези, Т – тура). Две от тях, ТТТТ и ТТТЕ, нямат ези сред първите три хвърляния, така че нищо не следва след ези; остават 14.
Във всяка вземете хвърлянията след ези и намерете дела на езитата. ЕЕЕЕ дава 3 от 3. ЕЕЕТ дава 2 от 3. ЕТЕТ дава 0 от 2. След всичките 14: шест поредици дават 0, четири дават 1/2, една дава 2/3 и три дават 1 (ЕЕЕЕ, ТЕЕЕ и ТТЕЕ).
Съберете дяловете: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. Разделете на 14: 17/42 ≈ 40,5%.
Нито едно хвърляне не облагодетелства турата; всяко е 50 на 50. Наклонът идва от осредняването поредица по поредица: поредица, пълна с ези, има много хвърляния за разглеждане, но се брои веднъж, също като поредица само с едно. Милър и Санхурхо (Miller and Sanjurjo, 2018) показаха, че изследването на „горещата ръка“ от 1985 г. е измервало баскетболистите си по този начин, така че играчите, които изглеждали не по-склонни към серии от случайността, всъщност са били малко по-склонни.
Малко хумор
Разреждане, а не поправка. Колелото не дължи нищо.
Източници
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”