Задача: колелото и рождените дни
След колко завъртания някое число ще се повтори? След много по-малко, отколкото предполагат повечето хора.
Задачата за рождените дни върху колело с 37 гнездаоборудванеГнездоЕдно от 37-те номерирани отделения на ротора. Също: slot, cup.Прочетете изцяло →: само след 8 завъртания вероятността някое число вече да се е паднало два пъти е по-голяма от половината. Играчите тълкуват повторенията като закономерности; те са очакваното поведение на изправно колело.
Задачата
Завъртете изправно европейско колело. След колко завъртания вероятносттаматематикаВероятностМярка за възможността на даден изход, от 0 до 1 или от 0% до 100%. Едно число: 1/37 = 2,70%.Прочетете изцяло → поне две завъртания да са показали едно и също число надхвърля половината? Повечето играчи предполагат някъде около 18 или 19 – половината от 37. Отговорът е 8.
Решението
Изчислете вероятността да няма повторение и я извадете от единица. След k завъртания p(всички различни) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). За k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, така че p(някакво повторение) ≈ 0,56. За k = 14 тя е 0,93; за k = 20 – 0,996. Интуицията греши, защото броят на двойките завъртания расте като k², а всяка двойка може да съвпадне.
Защо това има значение на масата
Дисплеят с резултатите с последните 20 числа почти винаги показва поне едно повторение, често две или три. Играчите виждат „17 се падна два пъти за десет завъртания“ и заключават, че 17 е горещо; аритметиката на рождените дни казва, че повторение в рамките на десет завъртания се случва в 74% от случаите и че повтореното число е случайно. Закономерността е реална; смисълът ѝ не е.
Следващата задача
След колко завъртания конкретно число, да речем 17, ще се е паднало два пъти? Това е друг въпрос с много по-голям отговор: очакваното чакане е 74 завъртания, а вероятността 17 да се падне два пъти в рамките на 20 завъртания е около 10%. Разликата между „някое число се повтаря“ (8 завъртания) и „това число се повтаря“ (74 завъртания) е цялата разлика между закономерност, която забелязвате след това, и прогноза, която правите предварително.
Опитайте
Изиграйте десет завъртания в „Демо игра“ и погледнете историята. Обикновено ще има повторение. Пуснете я отново. Повтореното число ще е различно. Направете го десет пъти и ще сте видели задачата за рождените дниматематикаЗадача за рождените дниКолко души са нужни, за да имат двама вероятно един и същи рожден ден, или колко завъртания, преди някое число вероятно да се повтори. На колело с 37 гнезда 8 завъртания стигат за шанс, по-добър от равния.Прочетете изцяло →; направете го хиляда пъти (симулаторите могат) и ще сте я измерили.
Формула
Въпроси
Точно така, с 37 гнезда вместо 365 дни. 23 души дават 50% за рождените дни; 8 завъртания дават 56% за колелото.
50% след около 19 завъртания. Пак нещо обичайно.
Не. Хиляди завъртания на едно колело биха могли да говорят; едно повторение – никога.
Забавна математика
Опитайте първо сами. Всяко решение е скрито; отворете го, когато сте готови.
Дисплей с резултатите до американско колело показва последните 16 завъртания. Колко вероятно е никое число да не се появи на него два пъти?
Показване на решението
Отговор Около 2,5%: приблизително 39 дисплея от 40 показват поне едно повторение.
Вървете завъртане по завъртане. Първото завъртане може да е каквото и да е. Второто трябва да се разминава с него: 37 от 38. Третото трябва да се разминава и с двете: 36 от 38. Шестнадесетото трябва да се разминава с петнадесет числа: 23 от 38.
Умножете: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Рядкост е именно дисплеят без повторение. Дисплей с повторение не казва нищо за колелото.
При десет завъртания на европейско колело каква е вероятността 17 да се падне точно пет пъти? Някое число, което и да е, да се падне пет или повече пъти? И някое число да се падне поне три пъти при четири завъртания?
Показване на решението
Отговор 17 точно пет пъти: 1 на 315 576. Някое число пет или повече пъти: около 1 на 8333. Някое число три или повече пъти при четири завъртания: 1 на 349.
17 пет пъти: изберете кои пет от десетте завъртания, 252 начина, всеки с вероятност (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Общо 1 на 315 576.
Някое число: всяко от 37-те числа има вероятност 1 на 308 325 за пет или повече попадения, което дава 37 на 308 325, или 1 на 8333. Редкият случай на две числа с по пет попадения се брои два пъти, но изваждането му не променя нищо при тази точност.
Три пъти при четири завъртания: за едно число 4 × 36 + 1 = 145 от 37⁴ възможни резултата; за което и да е от 37-те числа 145/37³ = 1 на 349.
Wizard of Odds е отговорил на същите въпроси за колело с двойна нулаколелоНулаЕдинственото зелено гнездо, което не се покрива от никой залог 1:1, на дузина или на колона; източникът на предимството на казиното. Също: единична нула, 0.Прочетете изцяло →; нашите числа за това колело са 1 на 359 275, 1 на 9243 и 1 на 368. Разликата между „17“ и „някое число“ отново е задачата за рождените дниматематикаЗадача за рождените дниКолко души са нужни, за да имат двама вероятно един и същи рожден ден, или колко завъртания, преди някое число вероятно да се повтори. На колело с 37 гнезда 8 завъртания стигат за шанс, по-добър от равния.Прочетете изцяло →: има 37 начина да бъдете изненадани.
Малко хумор
Нещо се повтаря рано. Това нещо е случайно.
Източници
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, въпроси за рулетката.