Стандартно отклонение в рулетката
Квадратният корен от дисперсиятаматематикаДисперсияМярка за това колко широко се разпръскват резултатите около математическото очакване. Висока при залог на едно число, ниска при залозите 1:1.Прочетете изцяло →: типичното разстояние между резултата и очакването.
На заложен $1 σ е 5,84 за залог на едно число и 1,00 за червено. За сесия умножете по залога и по квадратния корен от броя на завъртанията.
Практическо правило
Около две трети от сесиите завършват в рамките на едно σ от очакването и 95% – в рамките на две. За 100 завъртания на червенозалогЧервеноЗалог 1:1 на 18-те червени числа. На френски: rouge.Прочетете изцяло → по $10 (очаквано −$27, σ = $100) повечето сесии са между −$127 и +$73, а почти всички – между −$227 и +$173. Резултат извън този диапазон не доказва нищо, освен че една сесия на двадесет попада там.
Защо √N
Очакваната загубаматематикаОчаквана загубаМатематическото очакване, умножено по общата заложена сума; средната сума, която се губи за една сесия или за даден период.Прочетете изцяло → расте пропорционално на N; разсейването расте пропорционално на √N. При малко N разсейването доминира и сесиите са като хвърляне на монета с лек наклон. При голямо N загубата изпреварва разсейването. Точката на пресичане, където очакваната загуба е равна на едно стандартно отклонениематематикаСтандартно отклонениеКорен квадратен от дисперсията; типичното разстояние на резултата от математическото очакване.Прочетете изцяло →, е при N = (σ/предимство)² = (1/0,027)² ≈ 1370 завъртания за залози 1:1 и (5,84/0,027)² ≈ 46 800 за залози на едно число (straight up)залогЗалог на едно число (straight up)Едно-единствено число, плаща 35:1.Прочетете изцяло →. Под тези стойности решава късметът; над тях – предимството.
Как се използва
За да прецените дали една сесия е била необичайна, изчислете (резултат − EV)/σ. Играч, който залага по $10 на червено и завършва 100 завъртания с +$150, е на (150 + 27)/100 = 1,77σ – резултат от порядъка на едно на 25: късмет, но нищо забележително. Играч със залози на едно число при същите +$150 е на 0,3σ: обикновена вечер. Един и същ резултат в долари означава различни неща при различните залози.
Стандартна грешка на пропорция
Същата аритметика показва колко завъртания са нужни, за да се види предимството в данните. Стандартната грешка на наблюдавания дял на печалбите е √(p(1 − p)/N). За червено при N = 1000: √(0,4865 × 0,5135 / 1000) ≈ 1,6%. Разликата между честна монета и червено е 1,35%, така че след 1000 завъртания все още не можете уверено да ги различите. След 10 000 стандартната грешка е 0,5% и вече можете. Затова и откриването на отклонение на колелото изисква толкова много завъртания.
Внимание към асиметрията
При кратка сесия резултатите от залози на едно число са далеч от нормалното разпределение: повечето сесии са равномерни −$10 на завъртане с редки скокове от +$350. Правилото ±1σ описва разсейването правилно, но формата – зле, докато N не стигне стотици. При залозите 1:1залогЗалог 1:1Червено/черно, нечетно/четно, високи/ниски. 18 числа, плаща 1:1.Прочетете изцяло → нормалното приближение е добро от около 30 завъртания.
Формула
Въпроси
Доказателство е, че сте изиграли около 40 сесии или сте попаднали на щастливата една от четиридесет. Повторете я.
Колебае се все по-малко: стандартната грешка на средната стойност е σ/√N. При N = 10 000 тя е 1% от залога.
Забавна математика
Опитайте първо сами. Всяко решение е скрито; отворете го, когато сте готови.
За 100 завъртания на европейско колело една единицапариЕдиницаБазовият залог, с който работи една система или един играч. Прогресиите се описват в единици, за да важат на всяка маса.Прочетете изцяло → на червенозалогЧервеноЗалог 1:1 на 18-те червени числа. На френски: rouge.Прочетете изцяло → е на печалба при поне 51 печалби, а една единица на едно числозалогЗалог на едно число (straight up)Едно-единствено число, плаща 35:1.Прочетете изцяло → е на печалба, ако числото ѝ се падне поне 3 пъти. Използвайте камбановидната крива, за да оцените двете вероятности, после ги сравнете с точните отговори.
Показване на решението
Отговор Червено: камбановидната крива дава 35,6%, а точният отговор е 35,5%. Едно число: кривата дава 55,0%, а точният отговор е 50,9%. Приближението работи за червеното и не уцелва за единичното число.
Червено: печалбите са средно 100 × 18/37 = 48,6, с разсейване √(100 × 18/37 × 19/37) = 5,0. На печалба означава 51 или повече; средната точка, 50,5, е на 0,37 разсейвания над средното, а камбановидната крива дава 35,6% над нея. Сборът от точните вероятности за 51, 52 … 100 печалби дава 35,5%.
Едно число: попаденията са средно 100/37 = 2,70, с разсейване √(100 × 1/37 × 36/37) = 1,62. Три или повече попадения означава над 2,5, на 0,12 разсейвания под средното: 55,0% по камбановидната крива. Точно: 1 минус вероятностите за 0, 1 и 2 попадения, 6,5% + 17,9% + 24,7%, което оставя 50,9%.
Камбановидната крива иска много резултати от двете страни на средното. Червеното ги има след 100 завъртания; число, което се пада средно по-малко от три пъти, няма. Кривата дори дава 8,7% на „нито едно попадение“, при истинска вероятност 6,5%. Тейлър (Taylor, 2021) поставя биномното разпределение и камбановидната крива една до друга по същия начин.
Малко хумор
Една сесия на двадесет е извън две сигми. Винаги има някой на опашката.
Източници
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.