Сходимост в дългосрочен план: законът за големите числа в рулетката
Как средната стойност се установява към −2,70% и защо това отнема повече време, отколкото подсказва интуицията.
Средната загуба на завъртане клони към −1/37 с натрупването на завъртания, а разсейването около нея намалява като 1/√N. След 1000 завъртания на червено средната стойност обикновено е в рамките на ±3% от очакваната.
Закон за големите числа
Текущата средна стойност на независими залози клони към математическото очакванематематикаМатематическо очакванеСредният резултат на залог в дългосрочен план. −1/37 от залога за всеки стандартен залог в европейската рулетка.Прочетете изцяло →. След N завъртания със залог 1:1 от една единицапариЕдиницаБазовият залог, с който работи една система или един играч. Прогресиите се описват в единици, за да важат на всяка маса.Прочетете изцяло → средният резултат на завъртане има очакване −1/37 и стандартно отклонениематематикаСтандартно отклонениеКорен квадратен от дисперсията; типичното разстояние на резултата от математическото очакване.Прочетете изцяло → 1/√N. При N = 100 това разсейване е 10% от залога, почти четири пъти повече от сигнала от 2,7%. При N = 1000 то е 3,2%, приблизително колкото сигнала. При N = 10 000 е 1% и предимството вече се вижда ясно. Предимството е невидимо в една сесия и безпогрешно в рамките на година.
Кое е сходящо и кое не
Средното на завъртане е сходящо. Общият резултат не е: той се отдалечава все повече от нулата с нарастването на N – средно с около 2,7% от N, с разсейване от √N около тази стойност. Играч, изиграл 10 000 завъртания по $10, се очаква да е на загуба от $2700, плюс-минус $1000. Текущият дял на червенитезалогЧервеноЗалог 1:1 на 18-те червени числа. На френски: rouge.Прочетете изцяло → отдавна се е установил около 48,65%; текущият баланс не се е установил никъде.
- p10 −$440
- p25 −$280
- медиана −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Защо интуицията греши
Хората очакват предимството да се прояви бързо, защото 2,70% звучи като много, и очакват дългите серии да „се изравнят“, защото законът за големите числаматематикаЗакон за големите числаСредната стойност на независими резултати клони към математическото очакване с нарастването на броя на опитите.Прочетете изцяло → казва, че средните стойности са сходящи. И двете интуиции грешат в мащаба: предимството е малко спрямо дисперсиятаматематикаДисперсияМярка за това колко широко се разпръскват резултатите около математическото очакване. Висока при залог на едно число, ниска при залозите 1:1.Прочетете изцяло → на едно завъртане (σ = 1 единица срещу EV = 0,027), така че са нужни (1/0,027)² ≈ 1400 завъртания, за да стане видимо на ниво една сигма. А сходимостта на средното с нищо не връща общия резултат обратно; тя само разрежда миналите колебания.
Сходимост при другите залози
При залозите на едно числозалогЗалог на едно число (straight up)Едно-единствено число, плаща 35:1.Прочетете изцяло → (straight up) σ = 5,84, така че същото изчисление дава (5,84/0,027)² ≈ 47 000 завъртания, докато предимството достигне една сигма. Играч, който залага на едно число, може да играе с години, без в собствените му записи предимството да се различава от късмета, макар да плаща точно същите 2,70% като играча на червено, който го вижда за седмици.
Какво следва за проверката на системи
Всеки, който твърди, че дадена система работи, трябва да може да го покаже на 10 000 или повече завъртания с документирана положителна средна стойност. При 1000 завъртания положителна средна стойност при залог 1:1 е събитие с вероятност едно на пет при нулевата хипотеза; при 100 завъртания е почти като хвърляне на монета. Симулаторите на този сайт изиграват 2000 сесии с избраната от вас дължина за секунда, което е повече доказателство от всяко свидетелство.
Формула
Въпроси
ВероятносттаматематикаВероятностМярка за възможността на даден изход, от 0 до 1 или от 0% до 100%. Едно число: 1/37 = 2,70%.Прочетете изцяло → някога отново да сте на печалба клони към нула, докато играете. Общият резултат се спуска надолу без граница.
Не. Означава, че миналите колебания стават все по-малък дял от все по-голяма извадка.
При залог 1:1 – около 10 000, преди предимството да се види ясно. При залог на едно число – около 50 000.
Забавна математика
Опитайте първо сами. Всяко решение е скрито; отворете го, когато сте готови.
Двама приятели играят 20 рунда на справедлива играматематикаСправедлива играИгра, в която никоя страна няма предимство: всеки залог има математическо очакване нула.Прочетете изцяло → – хвърляне на монета или червенозалогЧервеноЗалог 1:1 на 18-те червени числа. На френски: rouge.Прочетете изцяло → срещу чернозалогЧерноЗалог 1:1 на 18-те черни числа. На френски: noir.Прочетете изцяло →, като при нулаколелоНулаЕдинственото зелено гнездо, което не се покрива от никой залог 1:1, на дузина или на колона; източникът на предимството на казиното. Също: единична нула, 0.Прочетете изцяло → залозите се връщат – и водят текущ резултат. Пребройте рундовете, през които всеки от тях води (равенство се брои за онзи, който е водил непосредствено преди това). Кое е по-вероятно: водачеството да е поделено 10 на 10 рунда, или единият приятел да води и в 20-те?
Показване на решението
Отговор Единият приятел да води и в 20-те рунда е далеч по-вероятно: 35,2%, който и от двамата да е, срещу 6,1% за равните 10 на 10.
Вероятността справедлив текущ резултат да е изравнен след 2k рунда е u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 след 10 рунда и 0,176 след 20. Класически резултат, законът на арксинуса, казва, че вероятността определен приятел да води точно в 2k от 2n рунда е u(2k) × u(2n − 2k).
Водачество във всичките 20: u(20) × u(0) = 0,176 за всеки приятел, 35,2% за който и да е от двамата. Равно поделяне: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1% – най-малко вероятното разпределение от всички.
Значи в справедлива игра водачеството рядко сменя ръцете. Играч, който е водил цялата вечер или е изоставал цялата вечер, не е видял нищо необичайно, и това не казва нищо за колелото или за умението. Епстийн (Epstein, 2013) дава същия закон за по-дълги игри: в половината от случаите по-късметлийската страна води в повече от 85% от играта.
Малко хумор
Средното се установява. Сборът просто си отива.
Източници
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.