Необичайни колела на рулетката
Колела с 18, 25, 26, 31, 40, 49, 62, 73 или 105 гнезда. Почти всички се оценяват по едно правило: делът на гнездата, които изплащанията пренебрегват.
Когато изплащанията са определени така, сякаш гнездата на казиното ги няма, предимството на казинотоматематикаПредимство на казинотоДелът от всеки залог, който казиното задържа средно: 2,70% в европейската рулетка.Прочетете изцяло → е гнездата на казиното, разделени на всички гнезда, независимо от размера на колелото. Повечето необичайни колела следват това правило. Интересни са онези, които го нарушават: закръглено изплащане, бонус рунд или залог, който остава на масата няколко завъртания.
Едно правило за всяко колело
Европейската рулеткавариантЕвропейска рулеткаКолело с една нула, 37 гнезда, предимство на казиното 2,70%. Основният модел в този сайт.Прочетете изцяло → плаща 35 към 1, сякаш колелото има 36 гнездаоборудванеГнездоЕдно от 37-те номерирани отделения на ротора. Също: slot, cup.Прочетете изцяло →. То има 37 и липсващото гнездо е предимството от 2,70%. Същото правило важи за всяко колело: при N числа и Z гнезда на казиното залог на n числа, който плаща (N − n)/n към 1, има предимство Z/(N + Z). По това правило са построени или предложени колела с всякакъв размер, а таблицата ги подрежда по цена.
По-голямото може да е по-евтино
Играчите възприемат колело с 62 гнезда като по-малко вероятен изход и предполагат, че играта е по-лоша. Предимството зависи само от дела на гнездата на казиното. Super 62 има две нуликолелоНулаЕдинственото зелено гнездо, което не се покрива от никой залог 1:1, на дузина или на колона; източникът на предимството на казиното. Също: единична нула, 0.Прочетете изцяло →, като американското колело, но те са 2 от 62 гнезда, а не 2 от 38, затова струва 3,23% срещу 5,26%. Roulette 73, със 72 числа и една нула, би струвала 1,37% – почти колкото залозите 1:1 на френската рулетка. На малко колело правилото действа в обратна посока. Болман описва старинно колело с 18 гнезда: от 1 до 16 плюс 0 и 00. По правилото всеки залог би струвал 2/18, 11,11%: две гнезда на казиното са голям дял от малко колело.
Къде правилото се нарушава: закръгляне
ИзплащанетопариИзплащанеТова, което връща печеливш залог, изразено като „X към 1“ в добавка към върнатия залог.Прочетете изцяло → трябва да е разумна сума в чиповепариЧипПлочка, която представлява определена сума и се поставя на таблото за залози, за да се направи залог. Също: cheque.Прочетете изцяло → и когато правилото дава дроб, казиното закръгля надолу. Залогът Avenue в 100 To 1 Roulette покрива 15 гнезда и би трябвало да плаща 5⅔ към 1; плаща 11 към 2, което вдига предимството му от 4,76% на 7,14%. В Super 62 седем числа съдържат цифрата 6 (6, 16, 26, 36, 46, 56, 60) и залогът на тази цифра плаща 7 към 1, което го прави 9,68% – три пъти повече от останалата част на таблото за залозиоборудванеТабло за залозиОтпечатаната мрежа за залози на масата. Също: маса, филц, сукно.Прочетете изцяло →. Залогът на бяло в Riverboat Roulette покрива 8 числа при 7 към 2; на маса без чипове от 50 цента печеливш залог от $5 получава $17 вместо $17,50, което вдига предимството от 5,26% на 7,37%. Американският залог на пет числа, със 7,89%, е познатият случай на същото явление.
Къде правилото се нарушава: бонуси
Fast Action Roulette, пусната в Marina Bay Sands през 2020 г., използва истинско колело с четири нули, което само по себе си би струвало 10%. При всяко завъртане десет бонус числа светват случайно. Залог на едно числозалогЗалог на едно число (straight up)Едно-единствено число, плаща 35:1.Прочетете изцяло → (straight up) плаща 35 към 1, 40 към 1, ако числото му е бонус число, и 80 към 1, ако целият му ред от четири е бонус, което го довежда до 6,65%. Останалите три залога в играта струват много повече. Double Bonus Spin на IGT добавя към американско колело жълто бонус гнездо, широко колкото гнездо и половина; когато топчетооборудванеТопчеМалкото топче, което се пуска по улея срещу посоката на ротора. Съвременните топчета са от айвърин или тефлон, 18–21 мм.Прочетете изцяло → падне там, всеки залог получава две безплатни завъртания. По наше изчисление това сваля предимството до между 1,94% (едно число) и 2,73% (залог 1:1), под обикновеното американско колело. Болман (2021) дава от 3% до 16% за тази игра; опростената му формула съдържа алгебрична грешка и за залозите 1:1залогЗалог 1:1Червено/черно, нечетно/четно, високи/ниски. 18 числа, плаща 1:1.Прочетете изцяло → от нея излиза, че безплатните завъртания губят повече от залога, което е невъзможно.
Къде правилото се нарушава: залози, които остават
Riverboat Roulette (2012) даде втори цвят на 32 числа от американско колело. Бялото отбелязва четирите гнезда около всяка нула (1, 2, 9, 10, 13, 14, 27, 28). Залог на цветна група печели, ако някое от числата ѝ се падне преди някое от осемте бели числа. Бялото число е „White Out“, при което губят всички цветни залози. Всяко друго число е равен изход (push): залогът остава и между завъртанията може да бъде прибран или увеличен. Тюркоазеното покрива три числа и плаща 2 към 1. На уреден залог то губи 2/11 от заложеното, 18,18%. На завъртане губи 2/38, познатите 5,26%, защото средният залог остава 38/11, около 3,5 завъртания.
Колело, което Торп можеше да предскаже: Big Six
Big Six, или колелото на късмета, е голямо вертикално колело с 54 деления: 24 плащат 1 към 1, 15 плащат 2 към 1, седем – 5 към 1, четири – 10 към 1, две – 20 към 1, а две деления с лого плащат 40 към 1. Нула няма; казиното взима своя дял, като плаща по-малко, и предимството е от 11,1% при деленията, които плащат 1 към 1, до 24,1% при логата. През 1961 г. Торп (Thorp) построи за него предсказващо устройство с размер на кибритена кутийка, управлявано с превключвател с пръста на крака, а през 1981 г., като засичаше с ръчен часовник една обиколка на колело в казино, установи, че обикновено може да посочи мястото на спиране с точност до пет деления. Залагането само на добре платените деления близо до прогнозата би донесло около +211%, ако залозите се приемаха след завъртането на колелото. Не се приемат, а колелото се върти бавно и пред очите на всички, така че закъснял залог би бил очевиден; Торп пише, че в играта има твърде малко движение, за да се скрие такъв.
Защо толкова малко се налагат
Професионално колело струва хиляди долари, а колело с необичаен брой гнезда трябва да се изработи по поръчка. Затова повечето нови игри на рулетка запазват стандартното колело и добавят залози – ето защо страницата за страничните залози е по-дълга от тази. Колелото с орел и 31 гнезда в Америка от XIX век, с 12,90% на едно число и 9,68% на всичко останало, загина от собствената си цена. Идеята за трето гнездо на казиното се върна през 2016 г. на колело с 39 гнезда, където струва 7,69%.
Въпроси
Не само по себе си. Предимството е делът на гнездата на казиното: 1 на 73 е по-евтино от 1 на 37.
Roulette 73, с 1,37%, но това е публикуван проект, а не маса, която е вероятно да намерите. Сред колелата, предлагани на играчи, Super 62 с 3,23% идва след европейското и френското.
Бонусът трябва да бъде платен – обикновено чрез намаляване на основното изплащане или чрез отделен залог с високо предимство.
Забавна математика
Опитайте първо сами. Всяко решение е скрито; отворете го, когато сте готови.
Royal Roulette, създадена в Австралия, има 50 гнездаоборудванеГнездоЕдно от 37-те номерирани отделения на ротора. Също: slot, cup.Прочетете изцяло →: 48-те карти от 2 до поп плюс едно асо и един жокер. Една карта плаща 47 към 1, две карти – 23 към 1, три – 15 към 1, четири – 11 към 1, шест – 7 към 1, осем – 5 към 1, дванадесет – 3 към 1, шестнадесет – 2 към 1 и двадесет и четири – 1 към 1. Какво правило дава тези изплащанияпариИзплащанеТова, което връща печеливш залог, изразено като „X към 1“ в добавка към върнатия залог.Прочетете изцяло → и колко струва всеки залог?
Показване на решението
Отговор Всеки залог на n карти плаща (48 − n)/n към 1, така че всеки залог струва 2/50 = 4%.
Проверете правилото на няколко залога: 47/1 = 47, 36/12 = 3, 32/16 = 2, 24/24 = 1. То пасва и на деветте. Правилото оценява колелото така, сякаш има 48 гнезда, затова асото и жокерът са двете гнезда на казиното, точно както 0 и 00 на американско колело.
Две гнезда на казиното от 50 дават предимство от 4%. „Европейска“ версия маха жокера и запазва изплащанията: едно гнездо на казиното от 49, предимство от 2,04%.
Super 62 има залог, че избрана цифра ще се появи в печелившото число. Измислете същия залог за обикновено американско колело. Колко от числата от 1 до 36 съдържат всяка цифра и какви изплащания биха запазили обичайните 5,26%?
Показване на решението
Отговор Само цифрите с 3 или 4 числа получават чисти изплащания (11 към 1 и 8 към 1). Цифрите 1, 2 и 3 не могат да се изплатят справедливо в цели чиповепариЧипПлочка, която представлява определена сума и се поставя на таблото за залози, за да се направи залог. Също: cheque.Прочетете изцяло →.
Пребройте числата. Цифрата 1 се среща в 1, от 10 до 19, 21 и 31: 13 числа. Цифрата 2 също е в 13 числа, а цифрата 3 – в 10. Цифрите 4, 5 и 6 са в по четири числа (4, 14, 24, 34), а 7, 8 и 9 – в по три.
Залог на n числа запазва американското предимство, ако плаща (36 − n)/n към 1. Това дава 8 към 1 за четири числа и 11 към 1 за три, и двете цели. За 13 числа дава 23/13, около 1,77 към 1, а за 10 числа – 2,6 към 1. Закръглете 1,77 надолу до 7 към 4 и залогът струва 5,92%; закръглете го нагоре до 2 към 1 и играчът има предимство от 2,63%. Закръгляването на 2,6 надолу до 5 към 2 дава 7,89%.
Цифрата 0 е въпрос на избор: само 10, 20 и 30 плащат 11 към 1 при 5,26%; добавете 0 и 00 и залогът става залог на пет числа, 6 към 1 при 7,89%, също като американския залог на пет числазалогЗалог на първите четири (basket)На колело с една нула: 0, 1, 2, 3 с един чип, плаща 8:1. Също: first four, quatre premiers.Прочетете изцяло → (basket).
цифрачислапо правилотовъзможно изплащанепредимство на казиното1, 2131,77 към 17 към 45,92%3102,6 към 15 към 27,89%4, 5, 648 към 18 към 15,26%7, 8, 9311 към 111 към 15,26%100 To 1 Roulette плаща (100 − n)/n към 1 за повечето залози, на колело със 100 числа и 5 символа на казиното. Залозите ѝ покриват 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20 или 50 гнезда и плащат 100, 49, 32, 24, 19, 9, 11 към 2, 4 и 1 към 1. Залогът на едно числозалогЗалог на едно число (straight up)Едно-единствено число, плаща 35:1.Прочетете изцяло → и залогът Avenue на 15 гнезда нарушават правилото. Кой друг залог го нарушава и колко струва?
Показване на решението
Отговор Залогът на три гнезда: правилото дава 32⅓ към 1, той плаща 32 към 1 и струва 5,71% вместо 4,76%.
Сверете всяко изплащане с правилото: 98/2 = 49, 96/4 = 24, 95/5 = 19, 90/10 = 9, 80/20 = 4 и 50/50 = 1 – всички пасват. За три гнезда правилото дава 97/3 = 32⅓, което никой чип не може да изплати, затова е закръглено надолу до 32.
Залогът печели 3 пъти на 105 завъртания и тогава връща 33 единиципариЕдиницаБазовият залог, с който работи една система или един играч. Прогресиите се описват в единици, за да важат на всяка маса.Прочетете изцяло → заедно със залога: 3 × 33 = 99 единици обратно за всеки 105 заложени, загуба от 6/105 = 5,71%.
Roulette 73, публикуван проект, има 72 числа и една нулаколелоНулаЕдинственото зелено гнездо, което не се покрива от никой залог 1:1, на дузина или на колона; източникът на предимството на казиното. Също: единична нула, 0.Прочетете изцяло →, а всеки залог плаща (72 − n)/n към 1. Неговите 24 сиви числа могат да се покрият с 14 чипа: 4 залога на едно число и 10 сплитазалогСплитДве съседни числа, плаща 17:1.Прочетете изцяло →. Колко струва този залог от 14 чипа?
Показване на решението
Отговор 1,37% от 14-те чипа, както всеки друг залог на това колело.
Дългият път: залог на едно число плаща 71 към 1, а сплит – 35 към 1. Ако се падне едно от 4-те числа със залог на едно число, печелите 71 и губите другите 13 чипа: +58. Ако се падне едно от 20-те числа в сплитовете: +35 − 13 = +22. При останалите 49 гнезда губите всичките 14. Средно за 73 завъртания: 4 × 58 + 20 × 22 − 49 × 14 = 232 + 440 − 686 = −14 единици, т.е. 1/73 от всеки чип.
Краткият път: математическите очакванияматематикаМатематическо очакванеСредният резултат на залог в дългосрочен план. −1/37 от залога за всеки стандартен залог в европейската рулетка.Прочетете изцяло → се събират. Всеки чип е обикновен залог, който губи 1/73 от себе си, така че 14 чипа губят 14/73. Комбинирането на залози променя разпределението на резултатите, никога цената им.
Super 62 има 60 числа, 0 и 00 и плаща (60 − n)/n към 1. Създателите ѝ са я начертали и с едно, три и четири гнезда на казиното. Alphabetic Roulette плаща (24 − n)/n към 1 при 25 гнезда и има вариант, в който Y и Z са в отделни гнезда. Оценете и петте.
Показване на решението
Отговор С една до четири нули: 1,64%, 3,23%, 4,76% и 6,25%. Alphabetic с отделни Y и Z: 7,69%.
Всяко от тези колела запазва изплащанията си и променя само броя на гнездата на казиното, така че предимството е гнезда на казиното ÷ всички гнезда.
Една нула, 61 гнезда: 1/61 = 1,64%. Две, 62 гнезда: 2/62 = 3,23%. Три, 63 гнезда: 3/63 = 4,76%. Четири, 64 гнезда: 4/64 = 6,25%. Всяка добавена нула струва около точка и половина.
Alphabetic плаща така, сякаш има 24 букви. Когато Y и Z делят едно гнездо, казиното има 1 от 25, 4%. Когато Y и Z са отделно, то има 2 от 26, 7,69% – колкото колело с тройна нула. Разделянето на едно гнездо на две почти удвоява цената.
колелогнездагнезда на казинотопредимство на казиното60 числа, една нула6111,64%Super 626223,23%60 числа, три нули6334,76%Super 646446,25%Alphabetic2514,00%Alphabetic, Y и Z отделно2627,69%Старинно колело има 18 гнезда: от 1 до 16, 0 и 00. Нечетните числа и 0 са червенизалогЧервеноЗалог 1:1 на 18-те червени числа. На френски: rouge.Прочетете изцяло →, четните числа и 00 – чернизалогЧерноЗалог 1:1 на 18-те черни числа. На френски: noir.Прочетете изцяло →, а 16-те числа са подредени на табло за залозиоборудванеТабло за залозиОтпечатаната мрежа за залози на масата. Също: маса, филц, сукно.Прочетете изцяло → 4 на 4. Съставете таблица на изплащаниятапариТаблица на изплащаниятаСписъкът какво плаща всеки залог или резултат. При автоматите и страничните залози именно там се определя предимството на казиното.Прочетете изцяло →, която дава на всеки залог едно и също предимство. И защо 0 трябва да губи залога на червено, макар че е червено?
Показване на решението
Отговор Плащайте (16 − n)/n към 1: 15 към 1 за едно число, 7 за две, 3 за четири, 1 за осем. Всеки залог струва 11,11%. Ако 0 печелеше залога на червено, червеното би било справедлив залог.
Оценете колелото така, сякаш 0 и 00 ги няма. Залог на n числа печели n пъти на 18 и плаща (16 − n)/n към 1, така че връща 16 единици заедно със залога за всеки 18 заложени. Всеки залог струва 2/18, 11,11%.
Естествените залози на таблото излизат цели: едно число 15 към 1, две съседни 7 към 1, ред или колоназалогКолонаДванадесет числа в една вертикална колона на таблото за залози, плаща 2:1.Прочетете изцяло → от четири 3 към 1, а два реда или осемте нечетни, четни, ниски или високи – 1 към 1. Залог на три числа би изисквал 4⅓ към 1; закръглен надолу до 4 към 1, той струва 16,67%.
Червеното покрива осемте нечетни числа. Ако 0, като червено, също печелеше залога на червено, червеното би покривало 9 от 18-те гнезда при 1 към 1: справедлива играматематикаСправедлива играИгра, в която никоя страна няма предимство: всеки залог има математическо очакване нула.Прочетете изцяло → без никакво предимство. Гнездата на казиното печелят предимството си само като губят всеки залог освен залога на самите тях.
Малко хумор
Пребройте гнездата на казиното, после потърсете закръглянето.
Източници
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Thorp, E. O. “The invention of the first wearable computer.”