Вероятност за серии в рулетката
Дългите серии от един цвят са нещо обичайно. И нямат никакво значение за следващото завъртане.
Пет червени поред: 2,7%. Десет: 0,074%. В сесия от 200 завъртания серия от шест на един цвят се появява по-често, отколкото не се появява.
Колко често идва серия от загуби
Залог 1:1 на колело с една нула губи при 19 от 37 завъртания. Всеки ред показва вероятността дадена поредица от завъртания да е изцяло губеща и колко е загубил дотогава играч с Мартингейл, който удвоява залога след всяка загуба.
| загуби поред | вероятност | около 1 на | загубено досега | следващ залог |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1023 | $1024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2047 | $2048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4095 | $4096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8191 | $8192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16 383 | $16 384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32 767 | $32 768 |
Вероятността е 19/37, умножено по себе си веднъж за всяка загуба, броено от едно определено завъртане. В дълга сесия има много завъртания, от които може да започне такава серия, така че за една вечер тя е много по-вероятна, отколкото подсказва отделен ред.
Една серия
ВероятносттаматематикаВероятностМярка за възможността на даден изход, от 0 до 1 или от 0% до 100%. Едно число: 1/37 = 2,70%.Прочетете изцяло → следващите k завъртания да са все червенизалогЧервеноЗалог 1:1 на 18-те червени числа. На френски: rouge.Прочетете изцяло → е (18/37)ᵏ. Две: 23,7%. Пет: 2,7%. Десет: 0,074%, около 1 на 1350. Двадесет: 1 на 1,8 милиона. Двадесет и шест, рекордът от Монте Карло: 1 на 137 милиона. Това са шансовете конкретна серия да започне от конкретно завъртане, а почти никой всъщност не задава този въпрос.
В рамките на сесия
Въпросът, който хората имат предвид, е „ще се появи ли серия от k някъде в моята сесия?“, и отговорът е много по-голям от (18/37)ᵏ, защото сесия от 200 завъртания предлага почти 200 места, от които може да започне серия. Серия от шест или повече от един и същи цвят, червено или чернозалогЧерноЗалог 1:1 на 18-те черни числа. На френски: noir.Прочетете изцяло →, се появява в сесия от 200 завъртания в около 94% от случаите; от осем или повече – в около 47%; от десет или повече – в около 14%. Ако посочите цвета предварително, вероятностите падат до около 75%, 27% и 7%. Играч, който прекара вечерта на масата, ще вижда дълги серии всяка вечер.
Защо това е важно за Мартингейл
Всяка отрицателна прогресиястратегияПрогресияВсяко правило, което променя залога според предишните резултати. Отрицателните прогресии го вдигат след загуби, положителните – след печалби.Прочетете изцяло → има дължина на серията, която я разбива: шест загуби при базов залог $10 и лимит $500, десет за ФибоначистратегияФибоначиПрогресия, която следва редицата 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: една стъпка напред след загуба, две стъпки назад след печалба.Прочетете изцяло →, пет при утрояване на дузинизалогДузина1–12, 13–24 или 25–36, плаща 2:1.Прочетете изцяло →. Вероятността за губеща серия от шест при залог 1:1 е (19/37)⁶ ≈ 1,8% на опит, а сесия от 200 завъртания съдържа може би 100 опита, така че разбиването идва в приблизително четири от пет сесии с такава дължина. Вероятностите за серии са причината пропастта да не е рядкост.
Горещи и студени числа
Същата аритметика важи и за залозите на едно число (straight up)залогЗалог на едно число (straight up)Едно-единствено число, плаща 35:1.Прочетете изцяло →. За 300 завъртания очакваният брой попадения на всяко число е 8,1; стандартното отклонениематематикаСтандартно отклонениеКорен квадратен от дисперсията; типичното разстояние на резултата от математическото очакване.Прочетете изцяло → е около 2,8. Някое число ще има 15 попадения, а друго – 2, само по случайност, всеки път. Дисплей с резултатите, който откроява „горещите“ числа, откроява горния край на нормалното разпределение. Лабораторията обяснява колко завъртания са нужни, преди едно горещо числомитГорещо числоЧисло, което напоследък се е падало по-често от очакваното. На изправно колело това не предсказва нищо.Прочетете изцяло → да означава нещо (хиляди, от едно установено колело).
Независимостта е всичко
Серия от десет червени не прави черното по-вероятно, но не прави по-вероятно и червеното. И двете са 18/37. Сериите са свойство на случайните последователности и би било подозрително, ако липсваха: последователност от 200 завъртания без серия, по-дълга от четири, би била много по-силно доказателство за манипулация, отколкото такава със серия от дванадесет.
Формула
Въпроси
Известната е от 26 черни в Монте Карло на 18 август 1913 г. Серия от 32 червени поред е съобщена в американско казино през 1943 г. И двете са в съгласие със случайността, като се има предвид колко завъртания правят казината.
И в двата случая е 18/37. Залагайте според плана си или изобщо не залагайте.
Не. Отклонението на колелото се проявява като по-често попадение в някои гнездаоборудванеГнездоЕдно от 37-те номерирани отделения на ротора. Също: slot, cup.Прочетете изцяло → в продължение на хиляди завъртания, а не като серии от един цвят.
Забавна математика
Опитайте първо сами. Всяко решение е скрито; отворете го, когато сте готови.
Колко завъртания на европейско колело са нужни средно, докато всяко от 37-те числа се падне поне веднъж?
Показване на решението
Отговор Средно около 155 завъртания; медианата е 147.
Бройте чакането по едно ново число. Първото завъртане винаги показва ново число. След като сте видели 1 число, 36 гнездаоборудванеГнездоЕдно от 37-те номерирани отделения на ротора. Също: slot, cup.Прочетете изцяло → от 37 са нови, така че следващото ново число отнема средно 37/36 завъртания. След като сте видели k числа, то отнема 37/(37 − k).
Съберете чаканията: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 завъртания.
Повечето от това е краят. Само последното число отнема средно 37 завъртания, а последните пет – около 85. На американско колело същата сума дава около 161. Това е задачата за колекционера на купони; Wizard of Odds дава същата средна стойност.
При 37 завъртания на европейско колело, по едно за всяко гнездо, колко различни числа да очаквате да видите?
Показване на решението
Отговор Около 23,6. Приблизително една трета от числата, около 13, изобщо не се падат.
Вземете едно число, например 17. При всяко завъртане то не се пада с вероятност 36/37, значи пропуска всичките 37 завъртания с вероятност (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Всяко число има същата вероятност, така че средно 37 × 0,363 ≈ 13,4 числа липсват, а 37 − 13,4 ≈ 23,6 се падат, много от тях два или повече пъти.
Играчите на рулетка наричат това закон на третините. Това не е закон, а само аритметика на повторенията: в серия, дълга колкото колелото, около една трета от числата не се появяват, на изправно колело както и на всяко друго. При 38 гнезда делът също е (37/38)³⁸ ≈ 0,363; за голямо колело той се установява около 1/e ≈ 0,368.
Приятел ви показва два списъка от по 50 цвята, червенозалогЧервеноЗалог 1:1 на 18-те червени числа. На френски: rouge.Прочетете изцяло → или чернозалогЧерноЗалог 1:1 на 18-те черни числа. На френски: noir.Прочетете изцяло →, за всеки от които се твърди, че е от колело с изключени нуликолелоНулаЕдинственото зелено гнездо, което не се покрива от никой залог 1:1, на дузина или на колона; източникът на предимството на казиното. Също: единична нула, 0.Прочетете изцяло →. Единият сменя цвета 25 пъти и най-дългата му серия е шест. Другият сменя 35 пъти и никога не надхвърля три. Кой е измислен?
Показване на решението
Отговор Вторият. Истински списък сменя цвета около 24 или 25 пъти. Списък с 35 смени се появява около веднъж на 500 списъка, а такъв без серия, по-дълга от три – около два пъти на 100.
Всеки нов цвят или повтаря предишния, или се сменя, наполовина, така че 49 възможности за смяна дават средно 24,5 смени, плюс-минус около 3,5. Трийсет и пет е три такива стъпки над средното; изправно колело дава толкова смени около веднъж на 500 списъка.
Сериите разказват същото. Истински списък от 50 има серия от четири или повече в около 98% от случаите, а най-дългата му серия най-често е пет или шест.
Хората, помолени да измислят случаен списък, сменят твърде често, защото серия от четири или пет им прилича на закономерност. Тейлър (Taylor, 2021) показва същия издайнически белег в списъци от хвърляния на монета, измислени от студенти: истинската случайност е по-богата на серии, отколкото хората очакват.
Книга с истории от казината разказва за играч, чието число се паднало пет пъти подред, и нарича това рекорд. Колко рядко е това на европейско колело? И колко често трябва да се случва някъде в едно казино с 20 маси, всяка с по 40 завъртания на час, денем и нощем?
Показване на решението
Отговор Предварително избрано число пет пъти подред: 1 на 69 милиона. Което и да е число, паднало се още четири пъти след първата си поява: 1 на 1,87 милиона. Това казино прави около 7 милиона завъртания годишно, така че трябва да вижда серия от пет три или четири пъти в годината.
Избрано число се пада с вероятност 1/37 при всяко завъртане, значи пет подред имат вероятност (1/37)⁵ = 1 на 69 343 957. Но никой не назовава числото предварително. Каквото и да се падне първо, следващите четири завъртания трябва да го повторят: (1/37)⁴ = 1 на 1 874 161.
20 маси × 40 завъртания × 24 часа × 365 дни = 7 008 000 завъртания годишно. Всяко завъртане може да започне серия, така че казиното очаква 7 008 000/1 874 161 ≈ 3,7 серии от пет годишно.
Официален рекорд от този вид няма, и не е нужен: рядко събитие на една маса е обичайно в цялото казино, а историите се разказват за масата, на която се е случило. Историята, у Голдман (Goldman, 2007), се развива на колело с две нули, където числата са 1 на 79 милиона и 1 на 2,09 милиона.
Малко хумор
Така изглежда случайността: с дълги серии.
Източници
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.