Риск от разорение
Вероятността да загубите целия си банкрол, преди да достигнете целта.
При залози 1:1 рискът от разорение следва формулата за разорението на играча. С банкрол от $500, залози по $10 и цел $600 достигате целта в около 57% от случаите, а в останалите губите всичко.
Въпросът
Имате a единиципариЕдиницаБазовият залог, с който работи една система или един играч. Прогресиите се описват в единици, за да важат на всяка маса.Прочетете изцяло → банкролпариБанкролЦялата сума, отделена за игра. Управлението на банкрола е решението каква част от него да рискувате на залог и на сесия.Прочетете изцяло → (сумата, отделена за игра) и искате да стигнете до a + b единици, като залагате по една единица на залог 1:1залогЗалог 1:1Червено/черно, нечетно/четно, високи/ниски. 18 числа, плаща 1:1.Прочетете изцяло → с вероятностматематикаВероятностМярка за възможността на даден изход, от 0 до 1 или от 0% до 100%. Едно число: 1/37 = 2,70%.Прочетете изцяло → за печалба p = 18/37 и вероятност за загуба q = 19/37. Каква е вероятността да достигнете целта, преди да стигнете до нула? Отговорът е изведен от Паскал (Pascal), Ферма и Хюйгенс през 1650-те години и е един от най-старите резултати в теорията на вероятностите.
Формулата за разорението на играча
P(достигане на целта) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Рискът от разорениематематикаРиск от разорениеВероятността да загубите целия банкрол, преди да достигнете дадена цел или брой завъртания.Прочетете изцяло → е единица минус това. При q/p = 19/18 ≈ 1,0556 съотношението расте експоненциално с броя на единиците, затова формулата наказва сурово малките единици: колкото повече залози са нужни до целта, толкова повече пъти по пътя се плаща таксата от 2,70%.
Как да го четем
По-малките единици вредят. Опитът да удвоите $500 със залози по $10 успява в 6% от случаите; с един-единствен залог от $500 успява в 48,6%. Смелата игра – по-малко и по-големи залози – максимизира вероятността да достигнете целта в игра с отрицателно математическо очакване, защото свежда до минимум броя на случаите, в които се прилага предимството. Тя също така максимизира дисперсиятаматематикаДисперсияМярка за това колко широко се разпръскват резултатите около математическото очакване. Висока при залог на едно число, ниска при залозите 1:1.Прочетете изцяло → на това, което ви се случва, и приключва вечерта бързо. Теоремата се нарича „смелата игра е оптимална“ и е доказана от Дъбинс и Савидж (Dubins, Savage) през 1965 г.
Откъде започна задачата
Въпросът е по-стар от рулетката. През 1656 г. Паскал постави на Ферма задача: двама играчи хвърлят три зара, като всеки започва с 12 пула; хвърляне на 11 премества един пул в едната посока, хвърляне на 14 – в другата. И двамата я решиха, а Хюйгенс, който научи за нея от писмо на математика Пиер дьо Каркави (Pierre de Carcavi), я публикува през 1657 г. като петата задача в първата книга по теория на вероятностите, с отговора и без доказателство. Единадесет може да се хвърли по 27 начина, а четиринадесет – само по 15, така че всеки пул се премества в полза на първия играч 9 пъти от 14 и формулата по-горе, при по 12 пула за всеки, го прави около 1157 пъти по-вероятно да спечели всичко, отколкото да загуби всичко. Предимство от 2,70% е много по-малко, но същата формула показва какво прави то при много залози.
Истински смел залог
През април 2004 г. Ашли Ревъл (Ashley Revell), млад англичанин, продаде почти всичко, което притежаваше, включително дрехите си, и занесе $135 300 в казиното Plaza в Лас Вегас. След няколко малки залога той заложи цялата сума на червенозалогЧервеноЗалог 1:1 на 18-те червени числа. На френски: rouge.Прочетете изцяло →, веднъж. ТопчетооборудванеТопчеМалкото топче, което се пуска по улея срещу посоката на ротора. Съвременните топчета са от айвърин или тефлон, 18–21 мм.Прочетете изцяло → падна на червено 7 и той си тръгна с $270 600. На колело с двойна нулаколелоНулаЕдинственото зелено гнездо, което не се покрива от никой залог 1:1, на дузина или на колона; източникът на предимството на казиното. Също: единична нула, 0.Прочетете изцяло → това единствено завъртане беше вероятност от 47,37% и му струваше средно $7121 – предимството от 5,26% при един залог. Разпределена на залози по $10, същата цел щеше да е почти безнадеждна. Смелата игра не прави залога добър; тя го прави възможно най-кратък.
Риск от разорение без цел
Ако просто играете, докато загубите всичко, или спрете след N завъртания, въпросът става „каква е вероятността банкролът ми да стигне до нула в рамките на N завъртания?“. За общо N няма формула в затворен вид, но симулаторите в този сайт я изчисляват: банкрол от $500 при залози по $10 на червено почти никога не се изчерпва за 100 завъртания (под 1%), изчерпва се в около 9% от случаите за 500 завъртания и в около 95% за 5000. Без правило за спиране вероятността клони към 100%, а това е дългосрочната версия на предимството на казинотоматематикаПредимство на казинотоДелът от всеки залог, който казиното задържа средно: 2,70% в европейската рулетка.Прочетете изцяло →.
- p10 −$500
- p25 −$500
- медиана −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Сходимост в дългосрочен план: законът за големите числа в рулетката
Колко дълго и колко напред
Още два класически резултата отговарят на въпроси, които играчите наистина задават. Без цел равните залози 1:1 продължават средно 37 завъртания на всяка единица банкрол на европейско колело и 19 на американско, защото всяко завъртане отнема средно 1/37 от единицата (1/19 на американско колело): 100 единици издържат средно 3700 завъртания, макар че половината от такива сесии приключват в рамките на 3134 (вижте „Продължителност и цена на сесията“). И колкото и голям да е банкролът, вероятността на европейско колело някога да бъдете k единици напред е (18/19)ᵏ. Това е 95% за една единица и 58% за десет, но никой банкрол, колкото и голям да е, не дава вероятност поне една втора някога да бъдете 13 единици напред; на американско колело вероятността е (9/10)ᵏ и пада под половината при 7 единици.
Продължителност и цена на сесиятаАмериканска рулетка: колело и правила
Банкрол за шанс петдесет на петдесет
Обърнете въпроса: колко трябва да донесете, за да имате вероятност поне петдесет на петдесет да спечелите дадена сума, преди да загубите всичко? За малка печалба – не много. За по-голяма нужният банкрол се покачва стръмно, а след определена точка никой банкрол не стига, защото дори безкраен дава по-малко от петдесет на петдесет вероятност някога да бъдете толкова напред. Тейлър (Taylor, 2021) го казва по друг начин: на американско колело, за да имате вероятност петдесет на петдесет да стигнете до 100 единици, трябва да започнете с 94, рискувайки 94, за да спечелите 6. На европейско колело ще ви трябват 88.
Практическият урок
Решете какво се опитвате да постигнете. Ако целта е конкретна печалба, залагайте големи суми и малко на брой пъти. Ако целта е дълга вечер, залагайте малко и приемете, че предимството ще вземе своите 2,70% от голям оборотпариОборотОбщата заложена сума за една сесия или период, като се броят и заложените отново печалби. Също: handle, action.Прочетете изцяло →. Ако целта е и двете, нещо трябва да отстъпи и обикновено това е целта.
Формула
Въпроси
МартингейлстратегияМартингейлПрогресия, която удвоява залога след всяка загуба. Вижте раздел „Стратегии“ за това какво прави и какво не прави.Прочетете изцяло → го намалява за кратки сесии и драстично го увеличава за дълги. Равните залозистратегияРавни залозиЗалагане на една и съща сума на всяко завъртане. Базата, с която се сравнява всяка прогресия.Прочетете изцяло → с по-голяма единица са честният начин да го намалите.
Формулата по-горе е за залози 1:1. При залози с висока дисперсия разорението е по-вероятно при малки залози, а целта се достига с по-неравномерни скокове; използвайте калкулатора.
Всяка стъпка към целта е малко по-малко вероятна от всяка стъпка към разорението; съотношението се натрупва с броя на стъпките.
Забавна математика
Опитайте първо сами. Всяко решение е скрито; отворете го, когато сте готови.
Имате $100 и искате $1000, като залагате само на червенозалогЧервеноЗалог 1:1 на 18-те червени числа. На френски: rouge.Прочетете изцяло →. План първи: залагате по $1. План втори: залагате всичко, което имате, докато не надминете $500, а след това точно колкото е нужно, за да стигнете $1000. Кой план е по-добър и с колко?
Показване на решението
Отговор План втори, с голяма разлика. Той стига до $1000 в около 9,0% от случаите, близо до справедливите 10%. План първи успява около 7 пъти на 10²².
В справедлива играматематикаСправедлива играИгра, в която никоя страна няма предимство: всеки залог има математическо очакване нула.Прочетете изцяло → бихте стигнали от $100 до $1000 веднъж на десет, каквото и да правите, защото средната стойност на парите ви остава $100.
Предимството на казиното взема 2,70% от всеки залог, така че колкото по-малко залагате общо, толкова по-близо оставате до едно на десет. План втори решава въпроса с няколко залога: $100 стават $200, $400, $800, а после $200 са достатъчни. Той успява в около 9,0% от случаите. План първи изисква хиляди залози, преди лутането да свърши, и предимството, малко при всеки от тях, се натрупва до почти сигурно разорение.
Това е резултатът на Дъбинс и Савидж (Dubins–Savage) в най-простия му вид (Епстийн – Epstein, 2013): в игра, която облагодетелства казиното, залагайте толкова, колкото ви трябва, възможно най-малко пъти.
Имате $500 и искате $1000, като спирате веднага щом ги имате. Избирате един вид залог и го повтаряте, докато спечели веднъж или парите свършат. Кой вид дава най-голяма вероятност?
Показване на решението
Отговор Един залог от $500 на червено: 48,6%. Всеки план, който разпределя парите в по-малки залози, се справя по-зле.
Изберете всеки залог така, че една печалба да е достатъчна: $30 на едно числозалогЗалог на едно число (straight up)Едно-единствено число, плаща 35:1.Прочетете изцяло → печелят $1050, $60 на сплитзалогСплитДве съседни числа, плаща 17:1.Прочетете изцяло → печелят $1020 и така нататък. После пресметнете вероятността поне един залог да спечели, преди парите да свършат. Шестнайсет залога по $30 на едно число пропускат всичките с вероятност (36/37)¹⁶ = 64,5%, така че стигат до $1000 в 35,5% от случаите.
Таблицата показва всеки залог. Червеното е най-добро, защото стига целта с един залог, така че предимството се плаща веднъж, върху $500. Залогът на шест числазалогЗалог на шест числа (six line)Шест числа в два съседни реда, плаща 5:1. На френски: sixain.Прочетете изцяло → е втори, защото му трябват само три. Един залог на дузиназалогДузина1–12, 13–24 или 25–36, плаща 2:1.Прочетете изцяло → е най-лош, с вероятност 12/37; дори играна с единиципариЕдиницаБазовият залог, с който работи една система или един играч. Прогресиите се описват в единици, за да важат на всяка маса.Прочетете изцяло → по $250, докато имате $1000 или повече, дузината стига до целта само в 46,4% от случаите.
Болман (Bollman, 2024) съставя същата таблица за американско колело. В реда му за дузината има грешка: трябва да е 12/38 = 31,6%.
залогзалог × брой залозивероятност да стигнете $1000Едно число$30 × 1635,5%Сплит$60 × 835,9%Стрийт$90 × 534,5%Каре$125 × 436,7%Шест числа$166, $166, $16841,2%Дузина$500 × 132,4%Червено$500 × 148,6%Залагате една единица на червено, завъртане след завъртане, с банкролпариБанкролЦялата сума, отделена за игра. Управлението на банкрола е решението каква част от него да рискувате на залог и на сесия.Прочетете изцяло →, който никога не свършва. След първото завъртане сте с една единица напред или назад. Каква е вероятността някога отново да сте точно на равно?
Показване на решението
Отговор 36 на 37, 97,3%. На американско колело е 36 на 38, 94,7%.
Ако първото завъртане спечели (18 пъти на 37), сте с една единица напред, а предимството дърпа надолу всяка безкрайна сесия, така че рано или късно отново минавате през равенството: това е сигурно. Ако загуби (19 пъти на 37), трябва да се изкачите с една единица, а вероятността някога да сте с една единица напред е 18/19 (вижте таблицата по-горе).
Заедно: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
По принцип вероятността е 1 минус разликата между вероятностите да спечелите и да загубите едно завъртане: 1 − 1/37 на европейско колело, 1 − 2/38 на американско. В игра без нулаколелоНулаЕдинственото зелено гнездо, което не се покрива от никой залог 1:1, на дузина или на колона; източникът на предимството на казиното. Също: единична нула, 0.Прочетете изцяло → разликата е нищо и вероятността е 1: резултатът винаги се връща на равно. Епстийн (2013) дава общото правило.
Задачата на Паскал (Pascal) от 1656 г.: двама играчи хвърлят три зара, като всеки започва с 12 пула. Всеки сбор 11 премества един пул при първия играч, всеки сбор 14 – един при втория; другите хвърляния не се броят. Каква е вероятността първият играч да спечели всичките 24? А ако вместо това залагате по 1 единица на червено при всяко завъртане срещу приятел, който играе ролята на банка, с по 12 единици всеки, каква е вероятността вие да спечелите всичките 24?
Показване на решението
Отговор Първият играч печели около 1157 пъти на 1158. Вие, на червено, печелите всичките 24 единици само в около 34% от случаите.
Три зара дават 11 по 27 начина и 14 по 15 начина, така че всеки пул, който се премества, отива при първия играч 27 пъти на 42, тоест 9 пъти на 14. Когато всяка страна започва с 12, вероятността да вземе всичко е 1/(1 + r¹²), където r е отношението на вероятността на другата страна към вашата.
За първия играч r = 5/9, и (5/9)¹² ≈ 0,00086, така че вероятността е около 0,99914: съотношение 9¹² към 5¹², или 282 429 536 481 към 244 140 625, около 1157 към 1. Хюйгенс (Huygens) отпечатва точно тези числа през 1657 г.
На червено r = 19/18 заради нулата, и (19/18)¹² ≈ 1,913: вашата вероятност е 1/2,913 ≈ 34,3%. Монета би дала 50%. Предимството от 2,70% на всеки залог се натрупва, при многото залози, които са нужни, до разлика от 16 пункта.
Малко хумор
Смелата игра е оптимална. И свършва бързо.
Източници
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Писмо до Хюйгенс, 28 септември 1656 г., за задачата, която Паскал поставя на Ферма.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”