Задача: лимитът на масата
Мартингейл с $10 на маса с лимит $500. Колко често прогресията се проваля, колко губи, когато това стане, и помага ли по-високият лимит?
Шест загуби подред я провалят: 1,8% на цикъл, около 60% от сесиите от 100 завъртания. Провалът струва $630. Повишаването на лимита до $5000 прави провала по-рядък (0,25% на цикъл) и по-голям ($5110). Очакваната загуба на заложен долар е 2,70% при всеки лимит.
Задачата
Играч залага $10 на червенозалогЧервеноЗалог 1:1 на 18-те червени числа. На френски: rouge.Прочетете изцяло → и удвоява след всяка загуба, а след печалба се връща към началния залог. Максимумът на масата е $500. (а) Колко поредни загуби провалят прогресиятастратегияПрогресияВсяко правило, което променя залога според предишните резултати. Отрицателните прогресии го вдигат след загуби, положителните – след печалби.Прочетете изцяло →? (б) Каква е вероятносттаматематикаВероятностМярка за възможността на даден изход, от 0 до 1 или от 0% до 100%. Едно число: 1/37 = 2,70%.Прочетете изцяло → за това на цикъл? (в) Колко се губи при провала? (г) Как лимит от $5000 променя отговорите? (д) Прави ли някакъв лимит системата печеливша?
Решения (а)–(в)
Залози: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Седмият би бил 640 > 500, така че шест загуби я провалят. (б) p(загуба) = 19/37 при червено; (19/37)⁶ = 0,0183, около 1,8% на цикъл. Един цикъл трае средно около две завъртания, така че сесия от 100 завъртания има приблизително 50 цикъла и p(поне един провал) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (в) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, което е 63 базови единиципариЕдиницаБазовият залог, с който работи една система или един играч. Прогресиите се описват в единици, за да важат на всяка маса.Прочетете изцяло →, срещу $10, които цикълът се опитва да спечели.
Решение (г)
При $5000: разрешени са залози до 2560; десетият залог, 5120, се отказва. Девет загуби я провалят: (19/37)⁹ ≈ 0,25% на цикъл, около 11% от сесиите от 100 завъртания. Загуба при провала: 10 + 20 + … + 2560 = $5110. Играчът е купил по-рядка катастрофа на цената на по-голяма. В много сесии очакваната цена на провалите е p × загуба ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 на цикъл при лимит $500 и 0,0025 × 5110 = $12,8 при $5000; в рамките на закръглянето това е едно и също число и то е очакваната загубаматематикаОчаквана загубаМатематическото очакване, умножено по общата заложена сума; средната сума, която се губи за една сесия или за даден период.Прочетете изцяло → на цикъла минус $10, които печелят успешните цикли.
Решение (д)
Не. Очаквана загуба на цикъл = (очакван общ залог в цикъла) / 37 при всеки лимит, защото всеки залог е −1/37 от самия себе си. Лимитът решава само как загубата се разпределя между много малки печалби и няколко големи загуби. Без лимит и с безкраен банкролпариБанкролЦялата сума, отделена за игра. Управлението на банкрола е решението каква част от него да рискувате на залог и на сесия.Прочетете изцяло → (сумата, отделена за игра) прогресията би „работила“ в смисъл, че никога не би се провалила, но би заложила и неограничена сума с очаквана загуба 2,70% от тази неограничена сума. Не лимитът на масатамасаЛимит на масатаМинималният и максималният разрешен залог. Максимумът е това, което спира прогресиите с удвояване.Прочетете изцяло → пречи на МартингейлстратегияМартингейлПрогресия, която удвоява залога след всяка загуба. Вижте раздел „Стратегии“ за това какво прави и какво не прави.Прочетете изцяло → да работи. Пречи аритметиката.
Две истински маси
Примерът на Торп (Thorp) е маса с минимум $1 и максимум $1000, на която играч се надява да спечели $30 за вечеря, долар по долар. Залозите 1, 2, 4 … 512 позволяват десет залога, така че десет загуби подред провалят прогресията: веднъж на 785 цикъла на европейско колело (веднъж на 613 на американско) на цена $1023. Трийсет цикъла успяват всички в 96,2% от случаите. В останалите 3,8% се губят около $1000, а средният резултат на вечерта е −$9,17, което е точно 1/37 от $339, които трийсетте цикъла залагат средно. Маса с $5 и максимум $2000 не е по-различна: залози до $1280 позволяват девет залога, а провалът идва веднъж на 403 цикъла на европейско колело (веднъж на 323 на американско) и струва $2555.
Богат играч
Дайте на прогресията дълбок банкрол вместо нисък лимит: 1000 единици, базов залог от една единица и 1000 завъртания на червено, като се започва отново от една единица всеки път, когато следващото удвояване е повече от остатъка. Симулирахме един милион такива вечери. На европейско колело 52% завършват на печалба, 21% губят всичко, а средният резултат е −124 единици. Дори в игра без нулаколелоНулаЕдинственото зелено гнездо, което не се покрива от никой залог 1:1, на дузина или на колона; източникът на предимството на казиното. Също: единична нула, 0.Прочетете изцяло →, където всеки залог е справедлив, само около 60% биха завършили на печалба. Обичайната вечер е малка печалба; средната стойност се плаща от вечерите, които завършват на нула.
Поуката
Казината определят лимити, за да ограничат собствената си дисперсияматематикаДисперсияМярка за това колко широко се разпръскват резултатите около математическото очакване. Висока при залог на едно число, ниска при залозите 1:1.Прочетете изцяло →, а не за да победят системите. Победата над Мартингейл е страничен ефект, който им е добре дошъл, а аритметиката би го победила и без това. Играч, който смята, че проблемът е лимитът, е открил скалата и я е взел за склона.
Формула
Въпроси
Той ви позволява да оцелеете до по-висок лимит, където провалът е по-рядък и по-голям. Очакваната загуба на долар не се променя.
Залози 10, 30, 70, 150, 310: лимитът от $500 се достига след пет загуби, а провалът струва $570. Същите 2,70%.
За да не може един играч да заложи повече, отколкото резервът на казиното може спокойно да изплати. Управление на дисперсията.
Забавна математика
Опитайте първо сами. Всяко решение е скрито; отворете го, когато сте готови.
МартингейлстратегияМартингейлПрогресия, която удвоява залога след всяка загуба. Вижте раздел „Стратегии“ за това какво прави и какво не прави.Прочетете изцяло → започва с $100 на червенозалогЧервеноЗалог 1:1 на 18-те червени числа. На френски: rouge.Прочетете изцяло → и си позволява най-много n залога в цикъл: след n загуби подред се отказва и започва отначало. Напишете средния резултат от един цикъл като формула от n и го пресметнете за 5, 6 и 7 залога на европейско колело.
Показване на решението
Отговор Средното е 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 при 5 залога, −$17,35 при 6 и −$20,52 при 7. Повече разрешени залози правят средния цикъл по-лош, не по-добър.
Цикълът печели $100, освен ако всичките n залога не загубят, което става с вероятност qⁿ, където q = 19/37. Когато всички загубят, залозите 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ се събират до 100 × (2ⁿ − 1). Значи средното е 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Тук 2q = 38/37, малко повече от 1, така че (2q)ⁿ расте с n и средното пада: n = 5 дава 1,1426 и −$14,26; n = 6 дава 1,1735 и −$17,35; n = 7 дава 1,2052 и −$20,52. По-дългата стълба губи по-рядко, в 3,6%, 1,8% и 0,9% от циклите, но всяка загуба е два пъти по-голяма и през масата минават повече пари всеки цикъл, при 2,70% от всеки залог.
На американско колело 2q = 40/38 и числата са −$29,24, −$36,04 и −$43,20 (Тейлър – Taylor, 2021). В игра без нулаколелоНулаЕдинственото зелено гнездо, което не се покрива от никой залог 1:1, на дузина или на колона; източникът на предимството на казиното. Също: единична нула, 0.Прочетете изцяло → 2q = 1 и всеки цикъл е средно точно нула, колкото и дълга да е стълбата.
„Големият Мартингейл“ удвоява залога след загуба и добавя една единицапариЕдиницаБазовият залог, с който работи една система или един играч. Прогресиите се описват в единици, за да важат на всяка маса.Прочетете изцяло →, така че залозите вървят 1, 3, 7, 15, 31 … С колко сте на печалба, когато първата печалба дойде на 1-вия, 2-рия, 3-тия или k-тия залог? При единица $10 и максимум $500 колко често се прекъсва цикъл и колко струва средно един цикъл?
Показване на решението
Отговор Печалба на k-тия залог ви оставя с k единици на печалба: +1, +2, +3 и така нататък. При $10 и $500 цикълът се прекъсва след пет загуби, в 3,57% от циклите, за −$570. Средно цикълът губи $2,32 от $85,73 заложени: 2,70%.
k-тият залог е 2ᵏ − 1 единици: 1, 3, 7, 15, 31. Първите k − 1 залога се събират до 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Печалба на k-тия залог плаща 2ᵏ − 1, така че цикълът завършва с (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k единици на печалба: по една допълнителна единица за всяка загуба преди печалбата.
При $10 за единица залозите са $10, $30, $70, $150 и $310; следващият, $630, е над максимума от $500. Пет загуби подред, (19/37)⁵ = 3,57%, струват 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Средно: печалбите носят $10 × k с вероятност (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 за k от 1 до 5, а прекъсването взема $570 с вероятност 3,57%; общо −$2,32. Заложените пари са средно $85,73 на цикъл, а 2,32/85,73 = 2,70%. Обикновеният Мартингейл на същата маса се прекъсва след шест загуби, в 1,83% от циклите, за −$630, и губи $1,74 от $64,20 заложени: пак 2,70%.
Играч планира Мартингейл на червено с първи залог $1 на маса с лимит $1000, така че са възможни десет залога: $1, $2, $4 и така нататък до $512. Колко често цикъл губи и десетте, колко време отнема това средно и колко често вечер от 200 залога завършва така?
Показване на решението
Отговор Цикъл губи и десетте около веднъж на 784, което струва $1023. Това са средно около 1600 залога, а вечер от 200 залога се удря в стената в около 11% от случаите. Цикълът пак губи средно $0,31 от $11,31 заложени: 2,70%.
Залог на червено губи с вероятност 19/37, включително нулата. Десет подред: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, около 1 на 784. Залозите 1 + 2 + 4 + … + 512 се събират до $1023.
Един цикъл отнема средно 2,05 залога, така че 784 цикъла отнемат около 1600 залога. Ако се брои завъртане по завъртане, серия от десет загуби се появява някъде в 200 залога в 11,3% от случаите.
Между катастрофите играчът печели по $1 на цикъл: около $783 преди лошия, после −$1023, около −$240 за целия период. На цикъл: 1 × (1 − 0,00128) − 1023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Заложени пари на цикъл: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. И −0,31/11,31 = −2,70%.
Сравнете с първи залог $10 при лимит $500, шест залога: стената идва веднъж на 55 цикъла, а вечер от 200 залога я среща в 84% от случаите. По-високият лимит прави краха по-рядък и по-голям, не по-евтин.
Малко хумор
По-рядко и по-голямо при всеки лимит. Произведението е постоянно.
Източници
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.